Дослідження Функції Z=x^2-2y^3-2x+6y На Екстремум Детальний Розв'язок

by ADMIN 70 views

Вступ

У цій статті ми детально розглянемо процес дослідження функції двох змінних на екстремум. Ми візьмемо за приклад функцію z = x^2 - 2y^3 - 2x + 6y і крок за кроком розберемо всі необхідні етапи. Метою є надання зрозумілого і вичерпного розв'язку, який допоможе читачам засвоїти методику знаходження екстремумів функцій.

Екстремум функції – це її максимальне або мінімальне значення в певній області. Для функцій багатьох змінних, таких як наша z(x, y), екстремуми можуть бути локальними максимумами, локальними мінімумами або сідловими точками. Локальний максимум – це точка, де значення функції більше, ніж у всіх сусідніх точках, а локальний мінімум – це точка, де значення функції менше, ніж у всіх сусідніх точках. Сідлова точка – це точка, де функція має максимум в одному напрямку і мінімум в іншому напрямку.

Для знаходження екстремумів функції двох змінних необхідно виконати кілька кроків, які ми детально розглянемо нижче. Ці кроки включають знаходження частинних похідних першого порядку, знаходження стаціонарних точок, обчислення частинних похідних другого порядку і застосування достатніх умов існування екстремуму. Кожен з цих етапів відіграє важливу роль у визначенні характеру стаціонарних точок і, відповідно, у знаходженні екстремумів функції. Важливість розуміння цих методів важко переоцінити, оскільки вони застосовуються в багатьох областях науки і техніки, включаючи економіку, фізику, інженерію та комп'ютерні науки.

1. Знаходження частинних похідних першого порядку

Першим кроком у дослідженні функції на екстремум є знаходження частинних похідних першого порядку. Частинні похідні показують, як змінюється функція вздовж кожної з координатних осей. Для функції z(x, y) нам потрібно знайти дві частинні похідні: ∂z/∂x і ∂z/∂y.

Для нашої функції z = x^2 - 2y^3 - 2x + 6y обчислюємо частинні похідні:

  • ∂z/∂x = ∂(x^2 - 2y^3 - 2x + 6y)/∂x = 2x - 2
  • ∂z/∂y = ∂(x^2 - 2y^3 - 2x + 6y)/∂y = -6y^2 + 6

Частинна похідна ∂z/∂x показує швидкість зміни функції z відносно зміни змінної x, утримуючи y постійною. Аналогічно, частинна похідна ∂z/∂y показує швидкість зміни функції z відносно зміни змінної y, утримуючи x постійною. Обчислення частинних похідних є ключовим етапом, оскільки вони використовуються для знаходження стаціонарних точок, де функція може мати екстремум.

2. Знаходження стаціонарних точок

Наступним кроком є знаходження стаціонарних точок. Стаціонарні точки – це ті точки, де обидві частинні похідні першого порядку дорівнюють нулю. У цих точках функція не змінюється вздовж жодної з координатних осей, що робить їх кандидатами на екстремум.

Щоб знайти стаціонарні точки, ми повинні розв'язати систему рівнянь:

  • ∂z/∂x = 2x - 2 = 0
  • ∂z/∂y = -6y^2 + 6 = 0

Розв'язуємо перше рівняння:

  • 2x - 2 = 0
  • 2x = 2
  • x = 1

Розв'язуємо друге рівняння:

  • -6y^2 + 6 = 0
  • -6y^2 = -6
  • y^2 = 1
  • y = ±1

Отже, ми маємо дві стаціонарні точки: (1, 1) і (1, -1). Ці точки є потенційними точками екстремуму, і ми повинні дослідити їх далі, щоб визначити, чи є вони локальними максимумами, локальними мінімумами або сідловими точками. Для цього нам потрібно обчислити частинні похідні другого порядку і використати достатні умови існування екстремуму.

3. Знаходження частинних похідних другого порядку

Для визначення характеру стаціонарних точок необхідно обчислити частинні похідні другого порядку. Частинні похідні другого порядку показують, як змінюється швидкість зміни функції вздовж кожної з координатних осей. Нам потрібно знайти три похідні: ∂²z/∂x², ∂²z/∂y² і ∂²z/∂x∂y.

Обчислюємо частинні похідні другого порядку для нашої функції z = x^2 - 2y^3 - 2x + 6y:

  • ∂²z/∂x² = ∂(2x - 2)/∂x = 2
  • ∂²z/∂y² = ∂(-6y^2 + 6)/∂y = -12y
  • ∂²z/∂x∂y = ∂(2x - 2)/∂y = 0

Друга частинна похідна ∂²z/∂x² показує, як змінюється швидкість зміни функції z відносно зміни змінної x, коли y є постійною. Аналогічно, ∂²z/∂y² показує, як змінюється швидкість зміни функції z відносно зміни змінної y, коли x є постійною. Змішана частинна похідна ∂²z/∂x∂y показує, як змінюється швидкість зміни функції z відносно зміни x і y одночасно.

4. Обчислення дискримінанту

Для аналізу стаціонарних точок ми обчислюємо дискримінант (D), який визначається як:

D = (∂²z/∂x²) * (∂²z/∂y²) - (∂²z/∂x∂y)²

В нашому випадку:

D = (2) * (-12y) - (0)² = -24y

Дискримінант є ключовим інструментом для визначення типу стаціонарної точки. Залежно від знаку дискримінанту і другої частинної похідної ∂²z/∂x², ми можемо визначити, чи є стаціонарна точка локальним максимумом, локальним мінімумом або сідловою точкою.

5. Аналіз стаціонарних точок

Тепер ми проаналізуємо кожну стаціонарну точку, використовуючи обчислений дискримінант:

  1. Точка (1, 1):

    • D = -24 * 1 = -24
    • Оскільки D < 0, точка (1, 1) є сідловою точкою.

  2. Точка (1, -1):

    • D = -24 * (-1) = 24
    • ∂²z/∂x² = 2 > 0
    • Оскільки D > 0 і ∂²z/∂x² > 0, точка (1, -1) є локальним мінімумом.

Сідлова точка – це точка, де функція має максимум в одному напрямку і мінімум в іншому напрямку, що робить її ні максимумом, ні мінімумом. Локальний мінімум – це точка, де значення функції менше, ніж у всіх сусідніх точках, що робить її точкою найменшого значення функції в певній області.

6. Обчислення значення функції в точці локального мінімуму

Щоб знайти значення функції в точці локального мінімуму (1, -1), підставимо ці значення x та y у вихідну функцію:

z(1, -1) = (1)^2 - 2(-1)^3 - 2(1) + 6(-1) = 1 - 2(-1) - 2 - 6 = 1 + 2 - 2 - 6 = -5

Отже, значення функції в точці локального мінімуму (1, -1) дорівнює -5.

Висновок

У цій статті ми детально дослідили функцію z = x^2 - 2y^3 - 2x + 6y на екстремум. Ми знайшли частинні похідні першого і другого порядків, визначили стаціонарні точки і обчислили дискримінант. На основі отриманих результатів ми встановили, що точка (1, 1) є сідловою точкою, а точка (1, -1) є локальним мінімумом, де функція набуває значення -5. Цей приклад демонструє важливість поетапного підходу до дослідження функцій на екстремум і наголошує на необхідності врахування всіх ключових кроків для отримання правильних результатів. Розуміння цих методів дозволяє аналізувати складні функції і знаходити їхні екстремальні значення, що має велике значення в різних галузях науки і техніки. Варто пам'ятати, що ретельний аналіз і точні обчислення є запорукою успішного вирішення таких завдань. Вивчення подібних прикладів і практика допоможуть засвоїти методику і ефективно застосовувати її на практиці. Такий підхід дозволяє не лише знаходити екстремуми, але й глибше розуміти поведінку функцій та їхні властивості. Ефективне володіння цими інструментами є важливим для фахівців у багатьох областях, де необхідно оптимізувати процеси і знаходити найкращі рішення.